Chính xác toán học và chính xác thực nghiệm

Tình trạng trình bày số liệu, kết quả tính toán dưới dạng thức không thích đáng vẫn còn khá phổ biến không những ngoài xã hội mà ngay cả giới nghiên cứu cũng mắc phải (xem bài “Bao nhiêu số lẻ (thập phân) là vừa”). Điều này này có thể do nhiều nguyên nhân khác nhau nhưng xét một cách khách quan có lẽ nguyên nhân chủ yếu là việc thiếu các hiểu biết cần thiết, trong đó có hiểu biết về tâm lí cảm nhận như tác giả Nguyễn Văn Tuấn có phân tích trong bài viết  ‘Một căn bệnh số’ của giới báo chí’. Bài viết này giới thiệu với người đọc một số về hiểu biết cơ bản có liên quan về tính chính xác trong toán học và trong thực nghiệm.

Trong nhà trường cũng như ngoài xã hội ta thường gặp các dạng trình bày như 1 - 2/3 = 1/3 = 0.333 hoặc
√(1+2) = √3 = 1,7321, ...  Xét nghiêm ngặt về mặt toán học, đẳng thức cuối trong hai ví dụ này là không thể chấp nhận được, bởi vì mặc dù 1/3 và 0.333 đều là số hữu tỉ nhưng 0.333 = 333/1000 ≠ 1/3 và dễ thấy rằng 1,7321 =17321/10 000 là số hữu tỉ nên không thể bằng với √3, vốn là một số vô tỉ.

Cách trình bày chấp nhận được theo toán học cho hai ví dụ này là 1/3 = 0.333... , √3 = 1.7320... (dấu “...” được hiểu là còn vô hạn các chữ số nữa) hoặc 1/3 ≅ 0.333, √3 ≅ 1.7321 (dấu “≅” có nghĩa là gần bằng).  Nếu trình bày theo cách thứ hai thì 0.333 là giá trị gần đúng của 1/3 sai không quá 0.0005 và 1.7321 giá trị gần đúng của √3 sai không quá 5/100 000 (nhờ vào việc làm tròn số).  Còn trình bày theo cách thứ nhất thì độ chính xác là tuyệt đối (chắn chắn đúng ở mọi chữ số), tuy nhiên sự chính xác này chỉ là hình thức, không có ý nghĩa thực hành vì trên thực tế phần “...” hoàn toàn mơ hồ (trí óc con người và cả máy tính cũng không thể xác định được toàn bộ các chữ số trong phần này[i]).

Như vậy, đứng trên góc độ chính xác toán học, nếu không có yêu cầu phải trình bày kết quả ở dạng gần đúng, chính xác tới một số chữ số nhất định của phần thập phân thì ta giữ nguyên kết quả ở dạng ban đầu của nó. Chẳng hạn nếu được kết quả là 1/3 thì ghi là 1/3 không ghi là 0.3 hay 0.33 vv... hoặc được 1+√2 thì ghi là 1+√2 không ghi là 2.41 hay 2.4142 vv... Chúng ta chỉ đưa  dạng thập phân vào khi có yêu cầu trình bày dưới dạng gần đúng và đặc biệt đó là điều bắt buộc khi các số liệu có nguồn gốc thực tế.  Tuy nhiên, việc trình bày như thế cần tuân thủ những quy ước về độ chính xác thực nghiệm như sẽ được giới thiệu dưới đây.

Trước hết, cần lưu ý rằng trong thực hành tính toán chúng ta và ngay cả máy tính trên thực tế chỉ làm việc với các số thập phân (bao hàm cả số nguyên), chính xác hơn là với các số thập phân có số chữ số hữu hạn[ii]. Thứ nhất đơn giản là vì không có phương pháp thực hành nào cho phép chúng ta làm việc với số có vô hạn chữ số hay các số số vô tỉ, kể cả một phép toán đơn giản nhất như 1 + π nếu không dùng số gần đúng với một độ chính xác nào đó ta cũng không thể làm gì được với nó. Thứ hai là vì các số liệu ta có thường là kết quả qua các phép đo đạc hay phép đếm. Kết quả đo đạc bao giờ cũng chỉ là gần đúng cho dưới dạng số thập phân với một số chữ số nhất định ở phần thập phân tuỳ theo độ chính xác của dụng cụ đo, ý đồ sử dụng... Chẳng hạn, khi ta dùng một cây thước có khắc vạch tới milimet để đo một vật không quá chiều dài thước và muốn tận dụng tối đa khả năng cây thước thì kết quả (tính theo m) là một số với 3 chữ số phần thập phân (không sai lệch quá 0.5mm)[iii]. Hoặc khi dùng một cân để biết trọng lượng của một người lớn, thường ta chỉ ghi nhận kết quả (tính theo kg) là một số với 1 chữ số phần thập phân dù cân có thể cho ra kết quả tới gam. Trong trường hợp này, ghi nhận chính xác tới gam hoặc chục gam rõ ràng là không có ý nghĩa vì trọng lượng của một người dễ sai khác vài trăm gam là điều bình thường nếu cân trước và sau khi ăn uống hay bài tiết... Còn kết quả phép đếm mặc dù là số tự nhiên có thể viết dưới dạng chính xác tuyệt đối nhưng nói chung cũng có độ chính xác tương đối, nhất là khi số đối tượng được đếm lớn / biến động. Ngoài ra, trong nhiều trường hợp kết quả số đếm cũng có độ chính xác thay đổi tuỳ theo yêu cầu sử dụng. Ví dụ, giả sử có 8723 người đi xem một trận bóng đá thì người kế toán nơi thi tổ chức đấu cần biết chắc tới hàng đơn vị của con số (biết chính xác cả 4 chữ số), còn đối với người bên ngoài có thể chỉ cần thông tin gần đúng như khoảng 8700 hoặc thậm chí đơn giản hơn là khoảng 9000 người xem, tức chỉ cần 2 hoặc chỉ 1 chữ số chính xác mặc dù số gốc có 4 chữ số chính xác (biết chắc qua số vé bán)...

Bây giờ hãy xét ví dụ sau đây: giả sử ta dùng một thước dây cuộn 10m có khắc vạch tới milimet để đo chiều dài của một cây cầu và được kết quả chẳng hạn là 115.034 m. Trong kết quả này, chữ số 4 cuối cùng rõ ràng không đáng tin (mặc dù thước khắc vạch tới mm), thậm chí chữ số 3 kế đó cũng đáng ngờ vì trong quá trình đo ta đã dời thước 11 lần mà mỗi lần dời thước không chắc ta đã đặt thước đúng vị trí phải đặt, chưa kể ta căng thước không thẳng, hay đo không đúng theo một đường thẳng... Vì thế, phạm một sai số khoảng 30 mm hay lớn hơn nữa là điều có thể xảy ra. Sai số này có thể là sai dư hoặc sai thiếu (dư khi mỗi lần dời thước ta đặt đầu thước lố hơn vị trí về phía trước, hay căng thước không thẳng... và thiếu trong trường hợp ngược lại). Nếu chấp nhận có thể phạm sai số 30 mm thì chiều dài thật của cây cầu sẽ ở trong khoảng từ 115.004 m đến 115.064 m. Điều này có nghĩa là trong kết quả đo trên chỉ có phần 115.0 là chắc chắn đúng, chữ số 3 kế cũng có khả năng nhỏ để đúng, còn chữ số 4 cuối cùng hầu như hoàn toàn không chắc chắn. Những chữ số chắc chắn đúng trong một số như các chữ số 1, 1, 5 và 0 trong ví dụ trên gọi là chữ số có nghĩa.[iv].  Lưu ý rằng theo quy ước chung về chữ số có nghĩa người ta thường chấp nhận chữ số cuối cùng trong một số có thể là chữ số không chắc chắn nhưng có sai số không quá ½  đơn vị của nó (tương ứng với trường hợp đo lường đại lượng có độ lớn không vượt quá phạm vi dụng cụ đo – ví dụ trên không nằm trong trường hợp này). Ví dụ 3. 0 kg và 3 kg không như nhau về ý nghĩa thực tiễn dù 3.0 và 3 là một về mặt toán học. Chúng khác biệt nhau về mức độ chính xác: số đầu là số đo chính xác tới 1/10 kg tức là trọng lượng thật có thể từ 2.95 kg đến 3.05 kg còn số sau chỉ chính xác đến kg, có thể từ 2.5 kg đến 3.5kg.

Trong ví dụ về chiều dài cây cầu, để đơn giản vấn đề và đi nhanh tới điều cần nói, chúng tôi đã dùng kết quả 125.034 m chỉ qua một lần đo, còn sai số 30 mm chỉ là ước đoán có phần cảm tính. Trong thực hành hay nghiên cứu, để được số đo đáng tin cậy hơn người ta dựa vào lí thuyết thống kê, đặc biệt là định lí giới hạn trung tâm như đã giới thiệu trong nhiều bài ở đây. Thay vì dùng một số đo, người ta ước lượng đại lượng muốn đo bằng kết quả trung bình của nhiều lần đo, và dùng sai số chuẩn của kết quả nhiều lần đo làm sai số đo. Lưu ý rằng bằng cách tăng hay giảm số lần đo ta có thể điều chỉnh được độ lớn của sai số này và do đó có thể trình bày số đo chính xác hơn dưới dạng khoảng tin cậy: trung bình ± sai số. Chẳng hạn trong ví dụ trên, giả sử trung bình và sai số qua nhiều lần đo lần lượt là 115.03 và 0.03 ta viết 115.03 ±0.03 m.

Bây giờ giả sử ta đo tiếp chiều ngang của cây cầu, do không phải dời thước nhiều lần như trước nên ta có thể đạt mức chính xác cao hơn, chẳng hạn tới cm và được số đo là 8.47 m. Nếu cộng hai số đo này ta được nửa chu vi của cây cầu là 115.0 + 8.47 = 123.47 m. Tuy nhiên, do ta không biết chữ số hàng cm ở số hạng đầu là bao nhiêu vì thế chữ số 7 cuối cùng trong kết quả là không có cơ sở. Do đó, ta chỉ có kết quả chắc chắn là 123.4 m hay tốt hơn là 123.5 m sau khi làm tròn số tới dm (số sau bảo đảm không sai lệch quá 0.05 m). Nếu dùng dấu ? để thay cho chữ số không biết chắc và lưu ý kết quả của phép cộng một chữ số biết chắc với một chữ số không biết chắc vẫn là một chữ số không biết chắc thì các lập luận vừa nêu có thể tóm tắt như sau:

Cộng bình thường                     Cộng có để ý chữ số không chắc

Tương tự, nếu muốn tìm diện tích cây cầu ta có thể trình bày như sau:

Nhân bình thường                     Nhân có để ý tới chữ số không chắc

Cũng lí luận như trên, trong kết quả cuối cùng của phép nhân trên ta chỉ biết chắc chắn 3 chữ số đầu hay nói khác đi diện tích cây cầu chỉ có 3 số có nghĩa, tức là ta chỉ có thể viết kết quả này là 974 m² (sau khi làm tròn). Lưu ý rằng trong phép nhân bên trên, số chữ số có nghĩa của tích chỉ bằng số chữ số có nghĩa nhỏ nhất trong hai thừa số. Ngoài ra, mặc dù hai thừa số chính xác ít nhất cũng tới hàng 1/10 nhưng các chữ số biết chắc đúng trong kết quả chỉ tới hàng đơn vị mà thôi. Như vậy, tuy 974.050 m² là kết quả chính xác về mặt toán học nhưng các chữ số từ hàng đơn vị trở xuống không có nghĩa về mặt thực nghiệm. Trong thực nghiệm kết quả này chỉ nên ghi là 974 m² như đã trình bày.

Trên cơ sở xem xét nhiều trường hợp như trong ví dụ trên, người ta đưa ra quy tắc sau dây:

• số chữ số thập phân trong kết quả của phép cộng / trừ bằng với số chữ số thập phân nhỏ nhất trong các số hạng.
• số chữ số có nghĩa trong kết quả của phép nhân / chia  bằng với số chữ số có nghĩa nhỏ nhất của các thừa số.

Lưu ý rằng đây chỉ là các quy tắc thực nghiệm mang tính xác suất hơn là một quy tắc toán học qua chứng minh chặt chẽ.

Các quy tắc trên đã này được sử dụng rộng rãi qua nhiều thế hệ và tỏ ra được việc, tuy nhiên gần đây một số tác giả đặc biệt của Christopher Mullis (The University of Toledo Toledo, Ohio, Mĩ) và nhóm của tiến sĩ Wei Lee (Chung Yuan Christian University Chung-Li, Đài Loan) thấy rằng các quy tắc nêu trên vẫn có chỗ có thể cải thiện, đặc biệt là quy tắc cho phép nhân và chia – theo các tác giả chỉ có 31.0% và 45.3% lần cho ra số chữ số có nghĩa chính xác, tức là 69.0% và 54.7% lần cho ra chữ số có nghĩa không đúng (hầu hết là ít hơn số chữ số có nghĩa có thể biện minh được). Chẳng hạn trở lại ví dụ trên, bây giờ giả sử chiều dài cây cầu là 125.0 m và chiều ngang vẫn là 8.47m. Nếu theo quy tắc trên thì diện tích cây cầu sẽ là 1060m² (với 3 chữ số có nghĩa[v]) , còn nếu khi lập luận chi tiết thì ta có thể được 1059 m² (với 4 chữ số có nghĩa). Thêm một chữ số có nghĩa nói chung là thêm thông tin có giá trị, đặc biệt là trong xác suất, thống kê. Xin giới thiệu quy tắc cải tiến (chỉ áp dụng cho quy tắc cho phép nhân / chia và phép toán mũ) mà nhóm tác giả này khuyến nghị sử dụng như sau:

Phép toán	Quy tắc làm tròn	Chính xác	Sai sót
Cộng và trừ	Số chữ số thập phân trong kết quả bằng với số chữ số thập phân nhỏ nhất trong các số hạng	100% cho dãy công/trừ liên tiếp tới 9 số	- 0% cho dãy cộng/trừ liên tiếp từ 2 tới 9 số - Có thể dự đoán quá nhiều chữ số cho dãy tính gồm 10 hay nhiều số hơn.
Nhân	Số chữ số có nghĩa trong kết quả bằng 1 cộng với số chữ số có nghĩa nhỏ nhất của các thừa số.	68.8%	- Dự đoán nhiều hơn có thể biện minh được1 hay 2 (31.2% lần) - Rất hiếm khi (< 1%) dự đoán nhiều hơn 2 chữ số.
Chia	(Như phép nhân)	54.7%	- Dự đoán nhiều hơn có thể biện minh được 1 hay 2 chữ số 45.3% lần - Rất hiếm khi (< 1%) dự đoán nhiều hơn 2 chữ số
Logarit thập phân	Số chữ số có nghĩa trong phần thập phân của kết quả bằng 1 cộng với số chữ số có nghĩa của số đưa vào.	57.18%	- Dự đoán nhiều hơn có thể biện minh được 1 chữ số (42.82% lần)
Logarit tự nhiên	Số chữ số có nghĩa trong phần thập phân của kết quả bằng số chữ số có nghĩa của số đưa vào.	97.00%	- Dự đoán nhiều hơn có thể biện minh được 1 chữ số (3.00% lần)
Mũ thập phân	Số chữ số có nghĩa trong kết quả bằng 1 cộng với số chữ số có nghĩa trong phần thập phân của số đưa vào.	61.46%	- Dự đoán nhiều hơn có thể biện minh được 1 chữ số (38.54% lần)
Mũ tự nhiên	(Như mũ thập phân)	98.13%	- Dự đoán nhiều hơn có thể biện minh được 1 chữ số (1.87% lần)

(Bảng quy tắc náy dịch từ: Recommend Rounding Rules for General Use)

Tóm lại, các số liệu thực tế nói chung chỉ là gần đúng và khi trình bày trước hết ta cần bảo đảm các số liệu có ý nghĩa, tức là không có số chữ số nhiều hơn số chữ số có nghĩa theo các quy tắc nêu trên. Ngoài ra còn phải chú ý tới tâm lí cảm nhận của đối tượng tiếp nhận/sử dụng đồng thời cũng nên tuân theo các hướng dẫn chung về cách trình số liệu nêu trong bài viết “Bao nhiêu số lẻ (thập phân) là vừa” để có những điều chỉnh phù hợp. Trong các trường hợp nghiên cứu, sử dụng khoảng tin cậy là một cách trình bày tốt nhất. Toán học yêu cầu chính xác tuyệt đối, thực nghiệm chỉ đòi hỏi gần đúng nhưng với độ chính xác có thể đạt được /theo yêu cầu.

PVS

Tài liệu tham khảo:

1. On the Standard Rounding Rule for Addition and Subtraction", Wei Lee, Christopher Mulliss, & Hung-Chih Chiu, Chinese Journal of Physics, 38(1), 36-41
2. Graphs, errors, significant figures, dimensions and units, UNSW,  School of Physics, Sydney, NSW, Australia
3. Math Skills Review – Significant Figures, Texas A&M University,  College of Science, Department of Chemistry, USA
4. Rules for Significant Figures and Decimal Places, Doctor Peterson, The Math Forum

1. On the Standard Rounding Rule for Multiplication and Division, Christopher L. Mulliss¹ and Wei Lee,Chinese Journal of Physics, 36(3), 479-487

---

[i] Ví dụ với số e, cho đến ngày 5/7/2010 với sự hỗ trợ của máy tính có khả năng tính toán mạnh cùng với việc cải tiến thuật toán và có cả việc treo giải thưởng khuyến khích người ta cũng chỉ biết được chính xác tới 1 000 tỉ chữ số của số này.

[ii] Trong toán học đó là tập Q_10, gồm các số hữu tỉ có thể viết dưới dạng  với di ∈ {0,1,2,…,9} và m, n ∈ N. Lưu ý rằng nhiều số hữu tỉ đơn giản như 1/3 chẳng hạn, cũng không thuộc tập này (khai triển thập phân của 1/3 là  có vô hạn chữ số), tuy nhiên 1/3 lại là một số trong tập số tam phân Q₃ (Q₃ được định nghĩa tương tự như Q₁₀ chỉ thay 10 bằng 3 trong định nghĩa), 1/3 có thể viết với dạng số tam phân có 1 chữ số ở phần tam phân 1/3 = 0.1₃ (chỉ số 3 ở vế phải để chỉ hệ tam phân).

[iii] Ngày nay chúng ta có những dụng cụ đo chính xác hơn có thể hiển thị kết quả bằng số, do đó hạn chế được sai số do người đo phạm phải nhưng quy ước về sai số bằng một nửa giá trị nhỏ nhất mà dụng cụ có thể đo được vẫn còn phù hợp.

[iv] Từ định nghĩa này quy tắc tìm số chữ số có nghĩa nêu trong phần ghi chú ở bài “Bao nhiêu số lẻ là vừa?” trở nên khá hiển nhiên.

[v] Khi có chữ số 0 đứng cuối, viết kết quả theo dạng bình thường như thế này khó biết được số chữ số có nghĩa. Vì thế để rõ ràng hơn người ta thường trình bày dưới dạng khoa học là 1.06×10³ m² (trong cách viết khoa học ta quy ước số chữ số có nghĩa của thừa số đầu là số chữ số có nghĩa của cả tích).

Nguồn: http://www.statistics.vn/